Hijo del cirujano español Francisco Argerich que llegó al Río de la Plata entre 1752 y 1756.
Su padre lo envió a España, donde por ocho años estudió medicina en la Universidad de Cervera. Allí se casó y tuvo un hijo, Francisco Cosme, que también sería un médico famoso.De regreso en Buenos Aires, prestó servicios en el Colegio de Huérfanos y en 1794 fue nombrado Primer Examinador del Protomedicato; en 1803 pasó a ser Secretario del Tribunal de dicho organismo y en 1811 fue designado Conjuez del mismo. Participó activamente en la atención a los enfermos durante las epidemias de viruela de 1794 y 1796. 

Durante las invasiones inglesas de 1806 y 1807 actuó como médico jefe del Hospital de la Caridad. En el Cabildo del 22 de mayo de 1810 votó por la caducidad del mandato de las autoridades españolas. Integró la Sociedad Patriótica Literaria y el gobierno le encargó la redacción de un proyecto de constitución. En 1812, junto con Chorroarín y Zavaleta compuso un plan de estudios generales y educación pública y en 1813, por pedido de la Asamblea General Constituyente, redactó otro más reducido, limitado a los estudios médicos. También a instancias de la Asamblea creó el 13 de marzo de ese año el Instituto Médico Militar.