Nació en Buenos Aires 
Abogado, vicepresidente, estadista conservador, liberal y diplomático. Estudió en la universidad de Bs. As y se graduó en leyes. 
Fue secretario de la legación argentina en Brasil, en 1868 y subsecretario de Relaciones Exteriores en 1869. Llevó a cabo con éxito negociaciones que dieron por resultado la firma de un tratado de paz con Paraguay. En 1871 fue miembro de la comisión para la reforma de la constitución provincial de Buenos Aires; fue legislador nacional (1878).

Nombrado ministro de Relaciones Exteriores por el presidente Juárez Celman, desempeñó una misión trascendental en el Congreso Sudamericano de Derecho Privado Internacional, celebrado en Montevideo en 1888. En más de una oportunidad, Quirno Costa hizo uso de la palabra ante la asamblea recalcando la necesidad de que las naciones sudamericanas consolidaran sus lazos con Europa mediante convenios legales y pautas más claras. Excluyó invitaciones a los países ajenos al ámbito latinoamericano, como por ejemplo los Estados Unidos. 
Sirvió también como ministro del Interior en el gabinete de Juárez Celman. Continuó ejerciendo funciones bajo los sucesivos presidentes. Ministro en Chile, en el mandato de Luis Sáenz Peña, ministro del Interior en el de José E. Uriburu, presidente de la convención para la revisión de la constitución (1898), vicepresidente durante la segunda administración de Julio A. Roca (1898-1904) y ministro del Interior en el gabinete de Figueroa Alcorta. Como miembro de PAN (Partido Autonomista Nacional) fue un conservador liberal, perteneciente a la nueva oligarquía.