Nació el 12 de febrero de 1887 en el, en ese entonces, partido de Avellaneda, conurbano bonaerense, aunque actualmente su lugar de nacimiento forma parte del partido de Lanús. Fue el décimo primer hijo de Juan Celedonio del Corazón de Jesús Farrell (1846-1887) y de Catalina Plaul (1851-1917).
Su familia paterna descendía del condado de Longford en Irlanda, de donde emigraron a la Argentina en 1830 su abuelo Matthew Farrell (1803-1860). Su abuela paterna, Mónica Ibáñez (1819-1867), era porteña. Sus abuelos maternos Santiago Plaul y Mariana Petry eran alemanes.
Farrell se casó en Zárate, provincia de Buenos Aires, el 10 de julio de 1919 con la maestra rosarina Conrada Victoria Torni (1893-1977), hija de Atilio Torni, italiano, y de Magdalena Carpani, francesa, y con quien tuvo tres hijos: Nelly Victoria (n.1923), Jorge Edelmiro (1925-1950) y Susana Mabel (n.1929).
En 1907 egresó del Colegio Militar con el grado de subteniente de infantería. Concluyó sus estudios en la Escuela Superior de Guerra convirtiéndose en oficial de Estado Mayor, siendo enviado entre 1924 hasta 1926 en Italia (permaneció dos años en un regimiento alpino).
En 1943, el movimiento del 4 de junio, al destituir a Castillo, cumplió una tarea que a sabiendas de unos e ignorancia de otros, estaba dirigida desde el GOU. (Grupo Oficiales Unidos), que en ese momento estaba formado por un núcleo de oficiales jóvenes entre los cuales se destacaba el coronel Juan Domingo Perón. Pero a los logistas les faltaba la adhesión de militares con categoría de generales: Rawson -jefe de la revolución del 4 de junio- no pertenecía al GOU, tampoco Farrell. Fue Perón quien lo señaló a éste último candidato para los cargos asumidos para después del 4 de junio.
La revolución del 4 de junio de 1943 lo sorprendió en Buenos Aires y con el grado de general. Imprevistamente para Farrell, el 5 de junio el movimiento triunfante -que apareció dirigido por el general Arturo Rawson- nombraba a Farrell comandante de las tropas de guarnición en la Capital, y el día 7, Ministro de Guerra para reemplazar al general Pedro Pablo Ramírez (designado por la revolución presidente provisional de la República).
El 15 de octubre de 1943 Farrell es nombrado vicepresidente de la República, siendo elemento fundamental en la destitución de Ramírez en febrero de 1944, aún cuando siempre actuaba limitado en sus posibilidades de propia iniciativa. El 25 de febrero reemplazó a Ramírez en la jefatura del Estado: Perón lo sustituía en el Ministerio de Guerra y en la vicepresidencia. Después de entregar la presidencia a Perón, el 4 de junio de 1946, Farrell se refugió en los afectos hogareños.
El 25 de febrero reemplazó a Ramírez en la jefatura del Estado: Perón lo sustituía en el Ministerio de Guerra y en la vicepresidencia.
En 1945, en el mes de julio, Farrell anunció que se llevarían a cabo elecciones presidenciales, el 17 de octubre lo que precipito la fecha a pri en las que fue electo democráticamente como nuevo jefe de estado Juan Domingo Perón, el 24 de febrero del año siguiente.
Detención de Perón
El 19 de septiembre de 1945 la oposición apareció unida en una enorme manifestación de más de 200.000 personas, denominada la Marcha de la Constitución y la Libertad, que se dirigió del Congreso al barrio de la Recoleta, encabezada por cincuenta personalidades de la oposición, entre ellos los radicales
La marcha opositora impactó de lleno en el poder de Farrell-Perón y desencadenó una sucesión de planteos militares contra la permanencia de Perón en el gobierno que se concretaron el 8 de octubre cuando ante una votación adversa de los oficiales de Campo de Mayo, que estaba al mando del general Eduardo J. Ávalos (uno de los líderes del GOU), con apoyo del radicalismo a través de Amadeo Sabattini, Perón presentó la renuncia a todos sus cargos. El 11 de octubre Estados Unidos le pidió a Gran Bretaña que dejara de comprar bienes argentinos durante dos semanas para producir la caída del gobierno.
El 12 de octubre Perón fue detenido y llevado a la Isla Martín García. En ese momento los líderes del movimiento opositor tuvieron el país y el gobierno a su disposición. «Perón era un cadáver político» y el gobierno, presidido formalmente por Farrell, estaba en realidad en manos del general Ávalos quien asumió como Ministro de Guerra en reemplazo de Perón y sólo pretendía entregar el poder a los civiles lo antes posible.
Perón fue reemplazado en la vicepresidencia por el Ministro de Obras Públicas, general Juan Pistarini quien mantuvo los dos cargos y el Jefe de la Marina el Contralmirante Héctor Vernengo Limaasumió el ministerio de Marina. La tensión llegó a un punto tal que el líder radical Amadeo Sabattini fue abucheado por nazi en la Casa Radical, un gigantesco acto civil atacó el Círculo Militar (12 de octubre) y un comando paramilitar llegó a planear el asesinato de Perón.
El 17 de octubre
El presidente Edelmiro J. Farrell mantuvo una actitud prescindente. Los sectores más antiperonistas del gobierno, como el almirante Vernengo Lima propusieron abrir fuego contra los manifestantes. El nuevo hombre fuerte del gobierno militar, el general Eduardo Ávalos, se mantuvo pasivo esperanzado en que la manifestación se disolviera sola, y se negó a movilizar las tropas. Finalmente, ante la contundencia de la presión popular, negociaron con Perón y pactaron las condiciones: Perón hablaría a los manifestantes para tranquilizarlos, no haría referencia a su detención y obtendría que se retiraran y por otra parte el gabinete renunciaría en su totalidad y Ávalos solicitaría su retiro; Perón también se retiraría y no volvería a detentar los cargos de los que fue desplazado, pero el gobierno debía convocar a elecciones libres.