Comenzó sus estudios en el Conservatorio Nacional de Música y Arte Escénico, y posteriormente en la Escuela de Baile del Teatro Colón, ambos en la Ciudad de Buenos Aires, República Argentina. Sus excepcionales condiciones la convirtieron primera bailarina del Cuerpo de baile estable del Teatro Colón. En su trayectoria recibió los conocimientos de coreógrafos de fama mundial siendo considerada etoile (estrella) por sus admiradores y público internacional.
Actuó en el Ballet de Río de Janeiro, Brasil, y con dicho cuerpo de baile efectuó una importante gira por Europa incluyendo espectáculos en teatros y presentaciones en televisión.
En el papel de primera bailarina del Colón cumplió con éxito notable, varias presentaciones en distintas ciudades europeas.
Un gran aporte a su carrera y trayectoria fue el haber acompañado, en el año 1967, a la famosa pareja de Margot Fonteyn y Rudolf Nuréyev en el ballet Giselle.
También fue destacable su participación, durante 1968, en el Festival Mundial de la Danza de París, donde obtuvo el premio a La mejor bailarinaargentina, que le fuera otorgado por la revista especializada "Opus".
En 1969 y como artista invitada inauguró la temporada oficial del Teatro Municipal de Santiago de Chile, donde recibió calurosos aplusos del público. Durante el año siguiente y al frente de un ballet de cámara, hizo numerosas giras por el interior de la República Argentina.
En 1971 Rudolf Nuréyev la eligió para compartir en el Teatro Colón los papeles principales en "Cascanueces", de Tchaikowsky, lo que nos muestra las excepcionales condiciones de Norma Fontenla, al haber sido invitada por una de las máximas figuras del ballet mundial, como lo era Nureyev.
Posteriormente efectuó exitosos espectáculos de danza y presentaciones por televisión, junto con Rudolf Nuréyev y José Neglia.
Con su compañero José Neglia, bailarín principal del Teatro Colón, se esforzaron para lograr hacer llegar la danza clásica a altos niveles de popularidad en su país.
Por razones artísticas (iniciaba un viaje a Trelew para una presentación en el Teatro Español de esa ciudad ) se trasladaba en avión, junto al cuerpo estable de baile del Teatro Colón, la aeronave se precipitó a las aguas del Río de la Plata por fallas en uno de sus motores, ocasionando la pérdida de su vida y la de todos sus compañeros (tampoco hubo sobrevivientes entre acompañantes y tripulación). Hecho acaecido el 10 de octubre de 1971, razón por la cual, en Argentina, se instituye esa fecha para conmemorar el día Nacional de la danza.
Fallecen junto a ella los siguientes integrantes del cuerpo de ballet del Teatro Colón: José Neglia (primer bailarín), Antonio Zambrana, Carlos Santamarina, Carlos Schiaffino, Margarita Fernández, Martha Raspanti, Rubén Estanga y Sara Bochkovsky.
A escasos metros del Teatro Colón en la Plaza Lavalle, se puede contemplar la Fuente de los Bailarines, el monumento que evoca la memoria de todos los mártires de esta tragedia, de profundo dolor y lamentable pérdida para la cultura argentina. La escultura pertenece a Carlos de la Cárcova y representa a los bailarines Norma Fontenla y José Neglia; y a su vez, la fuente decorativa, pertenece a la creación del arquitecto Ezequiel Cerrato