Era hijo de José María Sosa y de Doraliza Molina. En 1909 ingresó en el Colegio Militar, del que egresó en 1912. Se casó con Inés Zerpa.
En 1915 fue ascendido a teniente segundo,1 en 1918 a teniente primero, en 1922 a capitán, en 1927 a mayor, en 1933 a teniente coronel.
Prestó servicios en la Escuela de Tiro y en varios regimientos antes de ejercer sus funciones en el Estado Mayor General del Ejército en 1926.
En 1930 fue edecán del dictador José Félix Uriburu. Durante muchos años fue instructor del Colegio Militar y de diversas instituciones militares. En 1938 fue ascendido a coronel. Fue agregado militar en Brasil y continuó como instructor hasta 1940, en que fue nombrado comandante del Destacamento de Montaña Cuyo.
En esos años se incorporó al GOU (Grupo de Oficiales Unidos), que organizó y llevó adelante el golpe de Estado del 4 de junio de 1943 contra el Gobierno del presidente conservador Ramón Castillo y acabó con la Década Infame. El 9 de junio de 1943, con el rango de coronel, fue designado interventor federal del Gobierno de la provincia de Mendoza. Asumió al día siguiente (10 de junio de 1943). Ocupó el cargo de interventor durante quince días, hasta el día 25 de junio, cuando llegó el nuevo interventor designado desde Buenos Aires.
En 1944 fue ascendido a general de brigada y nombrado comandante de la III División del Ejército Argentino, con sede en Mendoza. Coordinó las tareas de auxilio a la ciudad de San Juan, luego de que esta fuera destruida en un 80 % por el terremoto del 15 de enero de 1944. Entre el 30 de enero y el 29 de agosto de 1944 fue gobernador de facto de la provincia de San Juan. Entre septiembre de 1944 y octubre de 1945 fue interventor federal en la provincia de Entre Ríos.
Era considerado un aliado del presidente de facto Edelmiro J. Farrell y luego de Juan Domingo Perón.] Después de los sucesos del 17 de octubre de 1945 fue nombrado ministro de Guerra de la República Argentina. Durante la presidencia de Perón siguió ejerciendo el mismo cargo hasta el año 1949, en que pasó a ser ministro de Defensa Nacional.
Durante su gestión cobró impulsó el desarrollo de la industria local. El 30 de noviembre de 1951, el presidente Perón firmó el decreto n.º 24.103 por el que creó la Fábrica de Motores y Automotores (en la ciudad de Córdoba). Fuerza Aérea inició un proceso de modernización que incorporó aviones como el Gloster Meteor, siendo la primera fuerza aérea de América Latina equipada con aeronaves de propulsión a reacción. También se adquirieron algunos bombarderos Avro Lincoln y Avro Lancaster, creando así una fuerza poderosa dentro de la región.
La Fuerza Aérea también inició el desarrollo de su propio avión, el I.Ae. 27 Pulqui I y el I.Ae. 33 Pulqui II, con la colaboración de técnicos alemanes, haciendo a la Argentina el primer país latinoamericano y el quinto en el mundo en desarrollar tecnología propia de cazas a reacción.
El avión Pulqui II, construido en 1950 durante la gestión de Sosa Molina, impulsó el desarrollo de la industria militar local.
Humberto Sosa Molina impulsó la industria y la investigación aeronaútica con el desarrollo del Pulqui II, un avión a reacción diseñado en Argentina por el Instituto Aerotécnico y construido en la Fábrica Militar de Aviones. el conglomerado estatal IAME que producía aviones, automóviles, motos, tractores, lanchas, etc.El IAME contaba con 12.000 operarios y administradores en aquella época.
El 28 de marzo de 1952 ―en reemplazo del Instituto Aerotécnico― se crea IAME (Industrias Aeronáuticas y Mecánicas del Estado), que producirá automotores, motocicletas, tractores y aviones.
El 16 de septiembre de 1955, el general Pedro Eugenio Aramburu perpetra un golpe de Estado para derrocar al Gobierno constitucional de Juan Domingo Perón. Automáticamente Humberto Sosa Molina fue echado de su cargo de ministro de Defensa Nacional. El dictador Aramburu llevó adelante en las Fuerzas Armadas la purga más grande de la Historia argentina, para eliminar de sus filas a cualquier elemento leal a la democracia. En febrero de 1956 dispuso el pase a retiro del 36 oficiales fieles a la democracia y les impidió el uso del uniforme y del grado.
Falleció en la pequeña ciudad de Mercedes, 110 km al oeste de la ciudad de Buenos Aires― el 10 de abril de 1960, a los 66 años.