Nació en San Juan de Luz, Francia (sus padres fueron sorprendidos por la Guerra cuando se encontraban de paseo por Europa) en 1916. Su historia en la natación comenzó a los 6 años, en las piletas del Belgrano Athletic Club, para luego jugar para el equipo de 100 m del Club Ferro Carril Oeste en 1929. También practicaría hockey sobre césped en el mismo club, pero la inclinación de su familia de nadadores (su hermana Dorothy fue campeona argentina de los 100 metros libres) iba a influenciarla definitivamente para dedicarse a la actividad acuática.
Fue en 1928 cuando cosechó sus primeros triunfos en la categoría menores y más tarde -junto a su hermana Dorothy- derrotarían al prestigioso San Isidro Club en la carrera de relevos. Cuatro años más tarde comenzarían sus éxitos a nivel de mayores: obtuvo su primer campeonato argentino de 100 m con una marca de 1:18:6, batiendo el récord sudamericano. En 1935, en el Sudamericano de Río de Janeiro, volvería a destacarse batiendo el récord subcontinental de los 100 m (1:08:0) y de los 400 m (5:47:8). También ganaría con el equipo argentino la posta 4 x 100 junto a Mílberg, Laviaguerre y Fricky. Es en éste año cuando adopta la ciudadanía argentina, pensando ya en los Juegos Olímpicos de Berlín, a los que había clasificado en la competencia en Río de Janeiro.
El 9 de junio de 1936 se embarcó en el Cap Arcona siendo la primera mujer argentina que representaría al país en unos Juegos Olímpicos. La delegación se componía de 55 deportistas, de los cuales 54 eran varones. En muchas entrevistas, la nadadora argentina comentó que esos 21 días de viaje fueron los más aburridos de su vida. La esperaba una de las reuniones olímpicas más cuestionadas de la historia, organizada sobre los criterios e ideologías de la política nazi liderada por Adolf Hitler.
El 8 de agosto comenzó la competencia para Campbell. Ganó su serie eliminatoria batiendo el récord sudamericano e igualando el olímpico con un tiempo de 1:06:8. Al otro día, la historia se repitió: ganó su serie semifinal y volvió a romper la marca sudamericana y la olímpica registrando 1:06:6, venciendo a la holandesa Willy den Ouden, quien había batido el récord mundial dos meses antes.
La carrera final comenzó con dificultades para la argentina. Sin embargo, pese a tener una largada complicada, pudo sobreponerse a la situación y llegó a liderar por momentos. Sin embargo, la holandesa Hendrika Mastenbroek remontó un sexto puesto pasada la mitad de la carrera y tocó la pared 5 centésimas antes que Campbell, quien marcó un tiempo de 1:06: para conseguir la primera medalla plateada en la historia del olimpismo femenino nacional.
Además, Jeanette tendría otra alegría durante los Juegos: sería elegida Miss Olimpic Berlín 1936 por la prensa acreditada. Según ella, la plaqueta que le entregaron por esta distinción tuvo más significado que la presea obtenida en los 100 metros libres.
A la vuelta de Berlín, Jeanette continuó nadando y obteniendo títulos nacionales y sudamericanos, sin embargo, la Segunda Guerra Mundial la dejaría sin revancha en 1940. A partir de eso, se enfocó en su vida familiar: contrajo matrimonio con su novio de siempre, Roberto Pepper y tuvo dos hijas (Inés y Susana) y un hijo (Roberto). Susana tomaría su legado y se convertiría en una de las nadadoras argentinas más importantes de la década del ‘60.
El resto de su vida se vio llena de reconocimientos e incluso fue abanderada de la delegación argentina en los Juegos Olímpicos de Tokio. También recibió el premio Konex, fue distinguida en el Congreso de la Nación con el premio “Delfo Cabrera” e ingresó en el salón de la fama de la natación. Falleció en 2003, en su casa del barrio de Belgrano de la Ciudad de Buenos Aires, dejando un legado imborrable en la historia del deporte argentino.
Desde 2018, una calle en la Villa Olímpica de la Juventud en Buenos Aires lleva su nombre.