Era hijo del cirujano militar Francisco de Argerich, catalán afincado en el virreinato del Río de la Plata. Viajó a España a estudiar medicina, y se recibió en la Real y Pontificia Universidad de Cervera, con el título de "Doctor en Medicina del Gremio y Claustro" en 1783.
De regreso a Buenos Aires, en 1794 fue nombrado examinador del Protomedicato, institución oficial que nucleaba a los médicos de la ciudad. También ejerció la medicina en forma privada y pública, ayudando en algunos hospitales organizados por las órdenes religiosas y en el Colegio de Huérfanos. Desde 1802 dictó la cátedra de medicina en el protomedicato.
Participó en la lucha contra los brotes de viruela en 1794 y 1796. Publicó un artículo en el Telégrafo Mercantil, donde recomendaba recurrir a la vacunación antivariólica. En 1805 introdujo las primeras vacunas contra la viruela; éstas eran importadas indirectamente de Gran Bretaña a por medio de una esclava negra traída por un buque portugués. Argerich y Saturnino Segurola vacunaban sin cargo a cuantos se presentaran a recibirlas.1
Actuó en las invasiones inglesas como oficial del segundo escuadrón de Húsares, pero en cuanto comenzaron las batallas, se destacó como cirujano, para atender a los heridos. Ayudó tanto a criollos como a ingleses por igual, y fue nombrado médico jefe del Hospital de la Caridad.
Integró la Logia Independencia después de ser iniciado masón durante las invasiones inglesas
Participó en el cabildo abierto del 22 de mayo de 1810 y se pronunció contra el virrey Baltasar Hidalgo de Cisneros. Después de la Revolución de Mayo sirvió como jefe del Protomedicato.
En 1812, junto con Luis José de Chorroarín y Diego Estanislao Zavaleta, compusieron un plan de estudios generales y de educación pública, que resultó impracticable. Se le encomendó que proyectara otro más reducido, limitado solamente a los estudios médicos, que la Asamblea del Año XIII aprobó para la Facultad de Medicina, que no había sido creada aún como tal. A solicitud de la misma Asamblea transformó la Facultad en otra institución de urgente necesidad en aquel momento, a la que se conocería como "Instituto Médico Militar", del cual nombrado director. Allí se formó una generación de médicos porteños.
Desde 1813 se desempeñó como cirujano del Ejército del Norte, acompañando al general Manuel Belgrano y asistiendo a los heridos de las batallas de Tucumán y Salta. Proyectó un Reglamento de Medicina Militar.
En 1816 regresó a Buenos Aires, debido a su mala salud. Proveyó al general José de San Martín de los insumos médicos y sanitarios para las campañas a Chile del Ejército de los Andes. Pasó el resto de su vida enseñando medicina, y organizó la sanidad del puerto.
Falleció en Buenos Aires en febrero de 1820, a los 62 años de edad, dejando tres hijos tan destacados como él: el médico Francisco Cosme Argerich (n. 1788 - m. 1846), el sacerdote canónigo de la Catedral Juan Antonio Argerich y el coronel Luis Argerich, además de un nieto también médico llamado Juan Antonio Argerich (n. 1836 - m. 1905). Sus restos descansan en el cementerio de la Recoleta.