Realizó sus estudios secundarios en el Colegio Nacional Buenos Aires (1936-1941) y los universitarios en la Universidad de Buenos Aires donde se recibió de abogado. Su primer empleo público fue como miembro de las misiones argentinas para gestionar préstamos públicos y tratamiento de la deuda externa con el "Club de París" durante el gobierno militar llamado Revolución Libertadora (1955-1958).
En 1961 fue designado por el presidente Arturo Frondizi como Ministro de Economía, en reemplazo de Álvaro Alsogaray.
Su principal empleo privado fue la representación de la Unión de Bancos Suizos en la Argentina.
Se desempeñó como Ministro de Economía de la dictadura militar llamada Proceso de Reorganización Nacional (1976-1983) y embajador argentino en Estados Unidos, durante la cual se produjeron graves violaciones a los derechos humanos conocidas como Terrorismo de Estado en Argentina. También durante su gestión la Argentina entró en guerra y fue derrotada por Gran Bretaña en la Guerra de Malvinas. Cabe destacar que mientras ejercía el cargo durante la dictadura, Alemann criticó abiertamente al régimen como también a la corrupción durante la organización del mundial de fútbol de 1978, a tal punto de que cuando Argentina hizo el cuarto gol que necesitaba contra Perú, estalló una bomba en la casa de Roberto Alemann.
En 2009 el Congreso de la Nación Argentina anuló su jubilación de privilegio, de 3780 pesos (1410 dólares) como parte de la cancelación de beneficios obtenidos por altos funcionarios del llamado Proceso de Reorganización Nacional.
Es miembro de la Academia Nacional de Ciencias Económicas y consultor de bancos, empresas y entidades empresariales. Director del tradicional semanario argentino-alemán Argentinisches Tageblatt, fundado en 1889 y de ideas republicanas, liberales y demócratas.
Ha escrito varios libros, entre ellos: